Частоты настройки фортепиано
Частоты настройки фортепиано опираются на эталонную частоту ноты ля первой октавы — 440 Гц.
В стандартном фортепиано с 88 клавишами октава разделена на 12 полутонов по логарифмической шкале. В каждой следующей октаве частота соответствующего основного тона вдвое выше: ля первой октавы — 440 Гц, ля второй октавы — 880 Гц, ля третьей октавы — 1760 Гц и т. д. (подробнее см. статью Настройка фортепиано).
Содержание
[править] Примечание
Эти частоты соответствуют теоретически идеальному строю фортепиано, предполагающему, что для любой ноты все её высшие гармоники характеризуются частотами [math]n\cdot f[/math] , где [math]f[/math] — частота основного тона, а [math]n[/math] — целое число большее единицы.
Однако, в реальном инструменте высшие гармоники основной частоты всегда немного выше, причём чем выше гармоника, тем больше девиация (отклонение). Например, вторая гармоника к ля первой октавы — основной тон строго 440 Гц — может составлять около 880,4 Гц (вместо 880), четвёртая — 1761,2 Гц (а не 1760), восьмая — 3522,5 Гц (а не 3520). Этот эффект в зарубежных источниках называют негармоничностью (inarmonía или inharmonicity); зависит он от жёсткости струны: чем она жёстче, тем сильнее эффект. Поэтому для разных инструментов и разного набора струн эффект будет проявляться в разной степени.
Негармоничность приводит к тому, что при практической настройке фортепиано по биениям на слух получается «расширенный» строй, то есть несколько «расходящийся» к краям клавиатуры по частоте. Если же осуществить настройку на стандартные теоретические частоты, то будет ощущаться некоторая нечистота звучания.
Источник
Музыкальная система координат
Общеизвестно, что многие взаимодействия,
имеющие место быть в окружающей нас Вселенной
имеют определённую цикличность.
И в том числе и цикличность «волнового порядка».
Данный «волновой порядок», в частности проявляется и при распространении
звука в воздушной среде, а так же при прочих.
циклических космических изысках,
в том числе и при перемещении.
видимого и не видимого нами «света».
идущего к нам на Землю от различных «Космическими светил».
Давно заметил, что видимые семь цветов радуги.
прямо таки напрашиваются на родственную соразмерность.
с семью основными музыкальными нотами в одной октаве.
Из за чего и сподобился таки.
ознакомится с информацией об «октавном строе».
Оказывается частота определённого звука в соседних октавах,
к примеру ДО в 1 октаве и ДО во 2 октаве отличается между собой
ровно в два раза.
А частота звука между всеми соседними полутонами имеет
постоянное соотношение равное 1,0595 что соответствует
значению корня из двух в двенадцатой степени.
В принципе это объясняется просто,
в октаве включая полутона имеется 12 нот.
Частота звучания нот последовательно увеличивается в 1,0595 раза.
А при перемножении 1,0595 само на себя 12 раз (12 нот),
ну или возведении 1,0595 в 12 степень.
и получается разница в 2 раза между определёнными нотами.
К примеру ДО 1 октавы и ДО 2 октавы (находящиеся в соседних октавах)
имеют двойное соотношения частот звучания.
При этом направление векторов волн как видно из нижнего графика,
с «двойной периодичностью» совпадает.
Если данный «музыкальный строй» доказал состоятельность своих
пропорций, своих всевозможных «гармоник».
так сказать в воздушной среде,
то почему бы не поискать наличие данных пропорций и гармоник
для прочих «волновых скитальцев».
в пространстве Вселенной?
Вопрос скорее всего риторический, и многие многие научные мужи
им наверняка загружались, надо будет ответ списать.
Хотя есть и ещё по моему мнению ещё одна причинность для
возможного применения «музыкального ряда».
А что если прикинуть его возможности для более точного
измерения.
к примеру некой «определяемой длины»,
ведь применяемая ныне Декартовая система координат,
с использованием десятичных дробей,
к примеру при делении «простого числа» 17
на ещё более «простое число» 71
17/71
в десятичном формате измерения.
наверняка даст кучу знаков после запятой.
А ведь волны имеют целостную значимость,
и какой длины нам прикажите волну гнать.
что бы прислать сообщение в точку 17/71 .
тут однако без очень приблизительной десятичной точности.
не обойтись.
А вдруг при музыкальном.
«волновом строе» окажется возможным более точно запускать на нужное
расстояние «информационную волну»,
ну и определять конкретную длину.
с помощью октавной.
«волновой системы координат»?
Надо однако помыслить.
Далее разместил найденную в интернете информацию по данной теме,
данную с небольшими моими уточнениями.
На дорисованном мной в принципиальном формате графике нот
«ДО» 1 и 2 октавы,
я указал на явное совпадения направления векторов одноимённых
нот при наложении их совместного звучания в соседних октавах,
что по моему мнению и определяет их «одно — нотную» схожесть в звучании.
Частота, длина, амплитуда и фаза звуковой волны
Количество колебаний воздуха в секунду называется частотой звука. Волны с разной частотой воспринимаются нами как звук разной высоты: волны с малой частотой воспринимаются как низкие, басовые звуки, а волны с большой частотой — как высокие. Частота измеряется в Герцах (Гц): 1 Гц = 1 колебание в секунду; или килогерцах (кГц): 1кГц = 1000 Гц. Большинство людей от 18 до 25 лет реально способны слышать колебания воздуха с частотой от 20 до 20000 Герц (с возрастом верхняя граница восприятия уменьшается). Именно этот диапазон волн называется звуковым диапазоном. Кстати говоря, наши уши устроены таким образом, что когда мы слышим два звука, частоты которых относятся как 2:1, то нам кажется, что эти звуки близки друг к другу и при одновременном воспроизведении они для нас как бы сливаются. Именно на этом эффекте основана музыкальная шкала высоты звуков, у которой одна и та же нота повторяется каждую октаву. То есть в натуральном звукоряде частоты одинаковых нот соседних октав соотносятся между собой как 2:1.
Частота волны обратно пропорциональна длине волны — отрезку на оси распространения волны, в котором умещается полный цикл (период) изменения плотности воздуха. Чем больше частота звука, тем меньше длина волны и наоборот. Длину волны очень легко вычислить по формуле l=C/f, где C — скорость звука (340 м/с), а f — частота звуковых колебаний. Например, волна, имеющая частоту 100 Гц, имеет длину 340/100=3.4 м.
Амплитудой звуковой волны называется половина разницы между самым высоким и самым низким значением плотности. На графике амплитуде будет соответствовать разница между самой высокой (или низкой) точкой волны и горизонтальной осью графика.
НАЗВАНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЕ ЗВУКОВ
Из двенадцати звуков в октаве только семь имеют собственные названия
ДО РЕ МИ ФА СОЛЬ ЛЯ СИ.
Остальные пять имеют названия, образованные от основных семи,
для чего применяют специальные символы: # — диез и b — бемоль.
Диез означает, что звук расположен выше на полутон звука,
к которому он приставлен, а бемоль — ниже.
Важно помнить, что между ми и фа, как и между си и до лишь полутон,
поэтому не может быть до бемоль или ми диез.
Другая распространенная система обозначения нот — латинская:
ноты обозначаются буквами латинского алфавита C, D, E, F, G, A, H (читается «ха»).
Зная частоту любой ноты, допустим, ЛЯ первой октавы A1=440Гц
частота следующего полутона равна
частота текущего умноженная на 1,0595,
или же Fn+1=Fn умноженное на 1,0595.
Шагаем по полутонам вверх:
А1=440
А#1=A1*1,0595=440*1,0595=466 Гц
B1=A#1*1,0595=466*1,0595=493 Гц
Шагаем по полутонам вниз:
G#1=A1/1,0595=440/1,0595=415 Гц
G1=G#1/1,0595=415/1,0595=392 Гц
Повышение октавы — частота удваивается. Понижение октавы — частота делится пополам.
Коэффициент 1,0595 выводится извлечением корня двенадцатой степени
(по числу 12 нот в октаве) из числа 2.
*****
Повторное моё пояснение: если умножить число 1,0595 само на себе 12 раз (12 нот),
то в результате и получим число «2» которое и указывает
на двукратное увеличение или уменьшение частоты звука в два раза.
у одной и той же ноты находящихся в соседних октавах.
Источник
Математика музыкального строя — основы.
Для понимания потребуется базовое знакомство с нотами и интервалами. В поcте много цифр, но вам считать ничего не придётся, достаточно понимать, что происходит.
Любую музыкальную ноту можно выразить цифрой — частотой колебания в герцах. А интервал между двумя нотами — соотношением двух частот. Например, нота на октаву выше данной всегда имеет частоту в 2 раза больше. Поэтому октава — это соотношение 2:1 или множитель 2.
Когда я буду говорить «интервал между двумя нотами равен 5:4», я буду иметь в виду, что частота более высокой ноты в 5:4 (или 1,25) раз выше, чем частота нижней ноты.
Имеет значение именно соотношение («во сколько раз выше»), а не разница частот («на сколько герц больше»). Например, между 100 и 200 Гц такой же интервал, как между 300 и 600 Гц, — октава (2:1).
Чтобы сложить два интервала, мы перемножаем их соотношения. «На октаву выше» значит «в 2 раза выше по частоте», поэтому на две октавы выше — в 4 раза выше, на три октавы — в 8 раз выше, и так далее.
Интервалы, которые выражаются простым соотношением (то есть дробью, у которой и числитель и знаменатель — небольшие целые числа), называются чистыми интервалами.
Основные чистые интервалы:
2:1 — октава
3:2 — квинта
4:3 — кварта
5:4 — большая терция
6:5 — малая терция.
Если интервал между нотами чистый, то эти ноты очень хорошо «сливаются» вместе. Музыканты издавна стремились к таким созвучиям.
Этому есть физическое объяснение. Любая нота состоит из гармоник — колебаний, кратных друг другу по частоте. Если соотношение между нотами простое, то часть гармоник у этих двух нот будут совпадать и полностью сливаться друг с другом.
Например, возьмём ноту с частотой 300 Гц и ноту на октаву выше (300*2=600 Гц) и выделим у них общие гармоники:
300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400.
600, 1200, 1800, 2400.
Теперь возьмём ноту с частотой 300 Гц и ноту на чистую квинту выше:
300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400, 2700.
450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700.
На спектрограмме эти совпадающие гармоники хорошо видно (для сравнения я взял негармоничную пару — 300 и 520 Гц):
Кроме того, гармоники любой отдельной ноты содержат в себе чистые интервалы. Например, третья гармоника любой ноты в 3 /2 раза выше по частоте, чем вторая гармоника этой же ноты. Так что чистые интервалы происходят из базовых физических свойств звука.
Самый простой из чистых интервалов — это октава: 2 /1. Она обладает важным свойством — если взять две ноты с разницей в октаву, то ВСЕ гармоники верхней ноты будут совпадать с чётными гармониками нижней (пример — в предыдущей сноске). Такие ноты максимально «сливаются» вместе и воспринимаются как одна. Поэтому они и назваются одинаково (До и следующая До). Сравните одну и ту же мелодию сыгранную большими терциями, квинтами и октавами, и всё станет понятно:
В посте я буду говорить про разные квинты, терции, и т.д. Но величина октавы будет всегда одна — 2 /1.
Когда одновременно звучат колебания близкой частоты (например, 200 и 202 Гц), между ними возникают так называемые биения — звук «плавает» или «дрожит» оттого что колебания медленно сдвигаются по фазе относительно друг друга.
Поэтому если интервал между двумя нотами не совсем чистый, но близок к чистому, то биения возникнут между некоторыми гармониками этих нот. Для примера — квинта, которая немного больше чистой:
200, 400, 600 , 800, 1000, 1200 .
302, 604 , 906, 1208 .
Чем сильнее интервал отклоняется от чистого, тем чаще биения и тем «нестабильнее» он звучит.
Ещё интервалы измеряют в центах. Цент — это очень маленький интервал: 1,0005777895. (корень 1200-й степени из 2х). Это одна сотая современного полутона. Он понадобится, чтобы оценить мелкие различия между интервалами.
Вот пример, который поможет ощутить масштабы цента:
Последнее примечание: из интервалов я буду говорить только о секундах, терциях и квинтах, потому что интервалы, которые являются обращениями друг друга, ведут себя совершенно аналогично. Например, если в каком-то строю терция C-E получается немного больше, чем чистая терция, то секста E-C — ровно настолько же меньше. И так далее: с квартами дела обстоят так же, как с квинтами, а с септимами — так же, как с секундами.
Если посмотреть на таблицу частот разных нот, видно, что чистых интервалов там практически нет. Между нотами A3 и A4 одна октава разницы (220 Гц * 2=440 Гц). А, скажем, нота E4, которая на квинту выше A3, имеет частоту не 330 Гц (220 Гц * 3 /2), а немного меньше.
Всё дело в том, что с чистыми интервалами есть проблема: они в очень многих случаях НЕ СХОДЯТСЯ друг с другом.
Например, возьмём ноту До (C), прибавим к ней две октавы и одну большую терцию. То есть два раза удвоим частоту, а потом умножим на 5 /4.
Получилась нота Ми (E) через две октавы.
Теперь отложим от той же самой До четыре квинты вверх. То есть, четыре раза умножим частоту на 3 /2. Получилась та же самая нота Ми.
Или не та же самая?
В первом случае частота Ми ровно в 5 раз выше, чем До: 2*2* 5 /4=5.
А во втором — в 81 /16 раз выше ( 3 /2* 3 /2* 3 /2* 3 /2= 81 /16). То есть в 5,0625 раз выше.
Получается, что две октавы плюс чистая большая терция не равны четырём чистым квинтам, из-за чего невозможно определить правильную частоту Ми относительно До. И таких расхождений много 1 .
Ещё пример: простая мелодия, которая начинается с До и движется так: квинта вверх, кварта вниз, квинта вверх, кварта вниз, большая терция вниз — вернулись в ту же До.
НО! Если все эти интервалы чистые, то До в конце мелодии получается выше, чем До, которая была в начале! А именно — в 81 /80 раз выше: 3 /2* 3 /4* 3 /2* 3 /4* 4 /5= 81 /80, и не равно 1. Повторим эту мелодию ещё раз, начав с новой До — и До станет выше почти на полтона. Вот, послушайте (в конце я для наглядности повторяю изначальную До):
Чтобы этого сдвига не происходило, придётся, например, пожертвовать чистотой большой терции и немного её увеличить.
А вот здесь, с 4:15, очень наглядно показывают этот сдвиг на примере аккордов.
Из всего этого ясно, что для построения нотной системы неизбежно придётся идти на какие-то компромиссы. Например, чтобы в предпоследнем примере получались не разные Ми, а одинаковые, придётся либо сделать квинту немного меньше, чем 3 /2, либо сделать большую терцию немного больше, чем 5 /4, либо сделать понемножку и то и другое. Именно это и происходило, когда музыканты пытались найти компромисс. В одни исторические периоды предпочтение отдавали чистой квинте, в другие — чистой терции.
Вот теперь можно рассказать про несколько исторических строёв.
Начнём с того, что строй этот создал не Пифагор. Насколько я понимаю, строй оформился в период поздней античности, а название получил потому что был основан на идеях пифагорейцев, которым очень нравилась идея гармонии чисел.
Пифагоров строй — это звукоряд, построенный на двух самых простых соотношениях — октаве и чистой квинте. Берём основную ноту, откладываем от неё вверх и вниз цепочку квинт и таким образом находим частоты для всех остальных нот.
Начнём, например, с До. Прибавим к ней чистую квинту и получим Соль, частота которой в 3 /2 раза выше До. Прибавим к этой Соль чистую квинту — получим Ре, частота которой в 3 /2 выше, чем у Соль, и в 9 /4 раз выше, чем у исходной До ( 3 /2* 3 /2). Дальше — Ля, с частотой в 27 /8 выше исходной До, и так далее.
В обратную сторону от До тоже можно откладывать квинты. Получится Фа, с множителем 2 /3, Си-бемоль с множителем 4 /9, и так далее.
На верхней клавиатуре изображены несколько первых шагов процесса:
На нижней клавиатуре полученные ноты собраны в одну октаву с До. Например, Ре ( 9 /4), которая получилась из двух квинт, мы понизили на октаву (=поделили на 2), и получилась Ре, которая на тон выше исходной До: 9 /8. Ля тоже понизим на октаву — получится 27 /16. Ми понизим на две октавы, Фа повысим на октаву, и так далее.
Если начать с Ре и отложить от неё по три квинты в обе стороны, получится 7 нот (F-C-G-D-A-E-B), составляющих До-мажор. Переместим их в одну октаву и получим такие соотношения:
| Нота | C | D | E | F | G | A | B | C | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение с первой С | 1 /1 | 9 /8 | 81 /64 | 4 /3 | 3 /2 | 27 /16 | 243 /128 | 2 /1 | ||||||||
| Соотношение между соседними нотами | 9 /8 | 9 /8 | 256 /243 | 9 /8 | 9 /8 | 9 /8 | 256 /243 | |||||||||
Если продолжить процесс дальше и отложить от Ре по шесть квинт в обе стороны, то получится такой ряд нот:
| Нота | Соотношение с D |
| Ab | 1024 /729 |
| Eb | 256 /243 |
| Bb | 128 /81 |
| F | 32 /27 |
| C | 16 /9 |
| G | 4 /3 |
| D | 1 |
| A | 3 /2 |
| E | 9 /8 |
| B | 27 /16 |
| F# | 81 /64 |
| C# | 243 /128 |
| G# | 729 /512 |
Получилось 13 нот, причём ноты Ab и G# получились разными: соотношение 1024 /729 близко, но не равно 729 /512 (1,40466. 128 /1. А 12 чистых квинт — это 531441 /4096, то есть 129,746.
Наша пифагорова G# ровно на 12 квинт выше, чем Ab, поэтому когда мы их приводим в одну октаву, получается не одна нота а две близких.
Разница между ними называется Пифагоровой коммой. Это небольшой интервал, примерно 23,46 цента, то есть чуть меньше четверти нынешнего полутона.
Нам нужно 12 нот, поэтому отбросим Ab и оставим G#.
Можно, конечно, ввести в наш строй обе ноты — Ab и G#, но это во-первых, непрактично на многих инструментах 2 , а во вторых, не решит проблему полностью. Например, мы не сможем сыграть чистую квинту от G#, потому что ноты D# у нас нет, а если играть вместо неё Eb, квинта будет не чистая, а опять же уменьшенная на пифагорову комму.
А если продолжать добавлять ноты, то придётся строить инструмент с такой, например, клавиатурой:
Если играть в До-мажоре или каких-то близких тональностях, достаточно будет среднего ряда клавиш. А вот чистую квинту от G# придётся играть так: G# на средней клавиатуре и D# на верхней. И вообще: в тональностях, в которых много «чёрных клавиш» часть нот придётся брать на одной клавиатуре, часть на другой.
И теперь одна квинта из двенадцати не чистая, а на пифагорову комму меньше чистой.
Эту квинту назвали «волчьей» квинтой. «Биения», которые возникают в «волчьей» квинте, напомнили кому-то волчий вой, отсюда название.
Одна плохая квинта из двенадцати — ещё не беда (в конце концов, мы можем избегать игры в тональностях, в которых эта квинта встречается — а это половина всех тональностей). Беда в том, что ВСЕ интервалы в пифагоровом строе получены из квинт, а значит — любой интервал, в котором участвует волчья квинта, уменьшается или увеличивается на пифагорову комму. Например, большая секунда получается из двух квинт, поэтому из 12-ти больших секунд 10 штук получаются чистыми, а две (C#-D# и G#-A#) — уменьшены на пифагорову комму. Септимы D#-C# и A#-G#, соответственно, увеличены на пифагорову комму. С другими интервалами такая же беда, только там изменённых интервалов получится ещё больше. Например, большая терция строится из четырёх квинт, поэтому из 12-ти больших терций 8 будут «обычного» размера, а 4 штуки — на пифагорову комму меньше.
Ещё одна проблема с пифагоровым строем — терции в нём серьёзно отличаются от чистых. Пифагорова большая терция — это «четыре чистых квинты минус две октавы». То есть, 3 /2* 3 /2* 3 /2* 3 /2:4. Получается 81 /64, а это заметно больше, чем чистая большая терция 5 /4 (1,265625 > 1,25).
То же самое с малой терцией. Пифагорова малая терция — это «две октавы минус три чистые квинты», или 2 /3* 2 /3* 2 /3*4. Получается 32 /27, и это заметно меньше, чем чистая малая терция 6 /5 (1,185185.
Интервал, на который они отличаются, называется синтонической коммой. Её размер — 81:80 или 21.51. цент (примерно одна пятая нынешнего полутона). С этой коммой мы уже встречались в начале текста — именно настолько повышалась До в мелодии, состоящей из чистых интервалов — и встретимся ещё.
Пифагоровы терции звучат для нас вполне норм, потому что они близки к нашим нынешним терциям (которые тоже совсем нечистые, но мы привыкли). Но средневековым музыкантам это было не норм, поэтому терция в то время не использовалась как основа гармонии.
Пифагоров строй использовали примерно до 15 века. Потом его стали модифицировать, чтобы как-то поправить ситуацию с терциями.
Среднетоновый строй на 1/4 коммы
В 16 веке появился новый строй — среднетоновый на 1/4 коммы. Он устроен так же как пифагоров, только размер всех квинт уменьшен ровно настолько, чтобы большая терция стала чистой.
Вот как это работает. Пифагорова большая терция создаётся с помощью четырёх квинт: строим цепочку квинт С-G-D-A-E, понижаем полученную E на две октавы, и получаем терцию C-E, которая, как я показывал выше, не чистая, а на синтоническую комму больше чистой. Если уменьшить каждую квинту на 1/4 синтонической коммы, то терция, полученная из четырёх квинт, уменьшится на одну синтоническую комму, а значит, станет равна чистой терции. При этом квинта перестала быть чистой, но и не сильно пострадала — уменьшилась всего на 5 центов.
Все остальные интервалы тоже получены из квинты, поэтому их размеры тоже изменились. Одним это пошло на пользу, другим — нет. Например, малая терция стала почти чистой (всего на 6 центов меньше чистой), большая секунда стала на 11 центов меньше чистой, и так далее. Но в целом интервалы получились приемлемые.
К сожалению, проблемы с «волчьей квинтой» и прочими волчьими интервалами здесь ещё хуже, чем в пифагоровом строе. В пифагоровом строе «волчья квинта» на пифагорову комму меньше чистой, а в среднетоновом — на полторы пифагоровы коммы больше. Поэтому одна квинта из двенадцати у нас получается безобразно, на 35 центов, увеличенной. Две большие секунды из двенадцати получаются безобразно увеличенными (на 30 центов больше чистой). 9 из 12-ти малых терций почти чистые, зато остальные три — на 47(!!) центов уменьшены. 8 из 12-ти больших терций совершенно чистые, зато остальные на 41(!) цент увеличены.
В итоге, при игре в тональностях, недалеко отходящих от основной ноты, мы получаем совершенно чистые большие терции и приемлемо чистые остальные интервалы. А вот в каком-нибудь Фа-диез мажоре будет много фальшивящих интервалов.
Одна и та же последовательность аккордов в разных тональностях. Начинаем с базового До мажора и сдвигаемся каждый раз на тон выше. Где-то в середине — там, где аккорды максимально далеки от базовой тональности — можно услышать некую фальшь.
Среднетоновый строй на 1/4 коммы был основным строем в европейской музыке до начала 18-го века, а на многих органах — до середины 19-го века.
Другая идея, которая возникла в конце 16 века — построить такой звукоряд, чтобы интервалы были максимально чистыми хотя бы в пределах одной тональности.
Возьмём ноту F и прибавим к ней чистую большую терцию, получив ноту A. К этой A прибавим чистую малую терцию и получим C. Продолжим чередовать большие и малые терции пока не получится 7 нот:
| Нота | F | A | C | E | G | B | D | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Соотношение | 5:4 | 6:5 | 5:4 | 6:5 | 5:4 | 6:5 | ||||||||
Чистая большая терция и чистая малая терция дают в сумме чистую квинту ( 5 /4* 6 /5= 3 /2; хоть где-то эти чистые интервалы сходятся!), поэтому квинты F-C, A-E, C-G, E-B и G-D здесь получились чистые.
Соберём эти ноты в одну октаву и получим звукоряд До-мажор — CDEFGABC, в котором почти все интервалы чистые. Чистыми получились все большие терции (CE, FA и GB) и три из четырёх малых терций (E-G, A-C и B-D). Однако, полного совершенства не получилось даже здесь: квинта D-A и малая терция D-F на пифагорову комму меньше, чем чистые.
Кроме того, получились две разных больших секунды. Одна — C-D, F-G и A-B — такая же как в пифагоровом строе (9:8 или 204 цента). Вторая — D-E и G-A — на пифагорову комму меньше (10:9 или 182 цента). Малые секунды E-F и B-C одинаковые — 15:16 (112 центов).
Итак, у нас есть 7 «белых» нот, интервалы между которыми чисты настолько, насколько это возможно. Добавим к ним 5 оставшихся «чёрных» нот (например, вычтем квинту из F и получим Bb, и так далее).
Получился строй, в котором интервалы в «исходной» тональности (До-мажор) и близких к ней тональностях — в основном чистые. Но если фальши убавилось в одном месте, её должно прибавиться где-то ещё, поэтому интервалы в далёких от До-Мажора тональностях будут сильно фальшивить.
Сейчас в чистом строю играют только музыканты, аутентично исполняющие древнюю музыку. А с другой стороны, инструменты, у которых высота нот не фиксированная (вокал, безладовые струнные, часть духовых), на практике часто склоняются к чистым интервалам. Например, певцы, поющие терцию, могут подстраиваться друг под друга так, чтобы исчезли «биения».
Все терции и квинты в натуральном До мажоре.
«Хорошо темперированные» строи
В конце 17-начале 18 века появились строи, разработанные так, чтобы можно было играть во всех или почти всех тональностях с минимальной «лажей» в интервалах. Идея была в том, чтобы понижать не все квинты, как в среднетоновом строе, а выборочно понижать часть из них.
Этих строёв было множество. Например, в одной из темпераций Веркмейстера пять квинт (C-G, D-A, E-B, F#-C#, and Bb-F) уменьшены на 1/3 коммы, две квинты (G#-D# и Eb-Bb) увеличены на 1/3 коммы, а остальные квинты — чистые.
В «хорошо темперированных» строях одни интервалы получаются чистыми, другие — почти чистыми, и лишь некоторые отклоняются сильно. В итоге стало возможно играть во всех тональностях без сильной фальши. Тональности получились разными — в одних было больше отклонений от чистых интервалов, чем в других, и распределение этих отклонений получалось разное. Если в нынешнем, равномерно темперированном строе перенести музыку в другую тональность, то она прозвучит точно так же (в том смысле, что соотношения между всеми нотами останутся такими же). А в «хорошо темперированном» строе от этого изменится «оттенок» музыки, потому что интервалы будут немного другими.
Здесь нельзя не упомянуть «Хорошо темперированный клавир» — сборник произведений Баха, вышедший в 1722 году. Он состоит из произведений во всех 24-х тональностях (12 мажорных и 12 минорных). Название, скорее всего, отсылает к «хорошо темперированным» строям, тем более что и состав сборника как бы говорит: наконец-то появился строй, в котором можно играть во всех тональностях!
Бах был недоволен общепринятым тогда среднетоновым строем и настраивал свои инструменты как-то по своему. Неизвестно, какую именно темперацию он использовал. Некоторые музыковеды даже полагают, что строй Баха каким-то образом зашифрован в тринадцати петлях, нарисованных им на заглавии сборника:
Равномерно темперированный строй
Идея разбить октаву на 12 равных частей высказывалась с древних времён. Это решает проблему с несходящимся квинтовым кругом, делает все интервалы одинаковыми, а все тональности равноправными. Однако на практике её применять не спешили. Во первых, терции в этом строе почти такие же нечистые, как и в пифагоровом. Во-вторых, для расчётов соотношений между нотами нужна продвинутая математика — ведь всё основано на корне 12-й степени из двух. В-третьих, в эпоху «хорошо темперированных строёв» композиторам очень нравилось то, что у разных тональностей разный «оттенок» и характер.
В течение 19 века многие композиторы (например, Бетховен) начали широко применять в музыке модуляции в далёкие тональности, и идея о равноправности тональностей становилась всё более привлекательной.
Итак, берём октаву ( 2 /1) и разбиваем её на 12 равных интервалов — полутонов, из которых будем составлять все остальные интервалы (большая терция — это 4 полутона, чистая квинта — 7 полутонов, и так далее). Каждый полутон равняется корню 12-й степени из двух (2 1 /12 ) — примерно 1.059463. Теперь между двумя соседними нотами ВСЕГДА интервал в 100 центов. Все терции одинаковы по размеру, все квинты одинаковые, и так далее.
В этом строю нет ни одного чистого интервала кроме октавы — все остальные определяются не то чтобы непростыми дробями (как в пифагоровом строе), а вообще иррациональными отношениями. Очень близки к чистым оказались квинта (выше чистой всего на 2 цента), и большая секунда (ниже чистой всего на 4 цента). А вот терциям не повезло. Малая терция получилась на 16 центов меньше чистой, а большая — на 14 центов больше. Это серьёзная разница, приводящая к заметным биениям:
Тем не менее к 20 веку практически все музыканты перешли на этот строй (а лютни и гитары на нём всегда и были). Равноправие тональностей и полное отсутствие «волчьих» интервалов оказалось важнее, чем нечистые терции.
В следующей части поста — ещё аудиопримеры и таблицы с интервалами.
1 — Например:
Три чистые большие терции не равны октаве, а меньше: 5 /4* 5 /4* 5 /4=1,953125.
Четыре чистые малые терции не равны октаве, а больше: 6 /5* 6 /5* 6 /5* 6 /5=2,0736
Шесть чистых тонов не равны октаве, а больше: 9 /8* 9 /8* 9 /8* 9 /8* 9 /8* 9 /8=2,027286529541015625.
2 — тем не менее были попытки решить проблему хотя бы частично и существовали инструменты, на которых одна, две или три из чёрных клавиш в каждой октаве раздвоены — например, Ля-бемоль и Соль-диез.
Например, вот этот клавесин, с 14 клавишами на октаву:
Источник