Как известно, слово «фортепиано» для инструмента, акустике которого посвящен этот семинар, происходит от названия, данного ему его изобретателем, Бартоломео Кристо́фори. Инструмент, вскоре после его изобретения в 1709 г., был описан автором как «gravicembalo (
clavicembalo) col piano e forte» , потому что, в отличие от обычного clavicembalo (то есть, клавесина), он способен варьировать громкость звука. Название, в некотором роде, даже более подходящее, чем его задумал автор. В предыдущей лекции Дональд Холл описал, как нелинейная жесткость молотка производит, наряду с расширенным динамическим диапазоном, соответственно большой диапазон различных тембров, давая словам piano e forte еще большее значение. Моя лекция будет посвящена еще более своеобразному факту, а именно, тому, что, в определенном смысле, gravicembalo col piano e forte может играть пиано и форте в одно и то же время!
Чтобы понять, как это явление происходит, давайте рассмотрим гипотетического инженера, которому поручено разработать музыкальный инструмент, в котором струна, первоначально возбуждаемая ударом молотка (или, если хотите, щипком), должна быть соединена с декой, и таким образом производить музыкальный звук. Очевидно, что этот инженер должен будет принять решение в отношении степени связи между струной и декой, то есть, выбрать степень эффективности передачи колебаний струн на деку. Здесь он сразу же столкнётся с трудностями, по следующей причине. Сильная связь создаст звук изначально громкий, но очень быстро затухающий во времени, поскольку сильная связь должна приводить к высокой скорости передачи энергии от струны к деке. Если же, с другой стороны, инженер желает иметь долгий устойчивый звук, чтобы придать инструменту больше певучести, он должен сделать связь с декой слабее — и, следовательно, ограничить динамику звука, который станет тихим и лишенным полётности.
Конечно, даже без каких-либо соединений с декой колебания струны не будут длиться вечно, поскольку есть и другие механизмы потерь энергии: внутреннее трение струны, сопротивление воздуха, а также прямое излучение звука от движения струны, но на практике это не имеет никакого значения. Насколько мне известно, во всех музыкальных струнных инструментах доминирующим фактором демпфирования колебаний струн является движение концевых опор, то есть, связь струн со штегом (мостиком, подставкой) и декой.
Для практического инженера конкуренция между громкостью и певучестью указывает на необходимость какого-то компромисса; но музыкальный инструмент не является по своей природе, «инженерным компромиссом». Большинство объектов, способных производить звуки, в конце концов, не использовались в качестве музыкальных инструментов. Те, которые были выбраны для этой цели, всегда представляют собой некоторое «чудо», то есть, ситуацию, в которой кажущееся инженерное ограничение преодолевается неожиданным образом.
В связи с фортепиано получается, что наше ухо — или, вернее, наше ухо плюс мозг — способно судить о громкости и певучести неожиданным образом. В частности, звук воспринимается как громкий, если он начинается громко, даже если он потом быстро затухает; и звук воспринимается как длящийся, если какая-то часть его выдержана, даже если эта часть довольно слаба. Таким образом, звук, который начинается с высокой, но быстро спадающей амплитуды, и который затем, достигнув довольно низкого уровня, переходит к значительно меньшей скорости спадания — так, что существует устойчивый, но негромкий «хвост» или «отзвук» — воспринимается как громкий и устойчивый одновременно. И именно это и есть чудо звука фортепиано.
Типичное затухание звука фортепиано показано на рис. 1, в котором отображается уровень звукового давления в зависимости от времени. Мы видим, что молоток ударяет струну в точке около t = 2 секунды, а демпфер останавливает вибрацию в точке около t = 17 секунд. Вертикальная шкала дана в децибелах, так что на оси ординат значение графика пропорционально логарифму амплитуды давления. В таком масштабе график падения уровня будет выглядеть как прямая, если затухание звука было экспоненциальным, что физик и ожидает от линейной системы, такой, как струны и дека. Вместо этого, очевидно, что кривая распадается на две части по признаку совершенно разной скорости затухания. Начальный участок, назовем его «быстрый звук», спадает в данном случае со скоростью около 8 дБ / сек, а продолжение, «отзвук», — со скоростью менее чем в одну четверть начальной. Как мы увидим, быстрый звук соответствует теоретической скорости затухания, определяемой связью струны с декой; в то время как отзвук, придающий фортепиано певучесть, представляет собой «чудо».
Рис 1. Типичное затухание звука фортепиано, иллюстрированное графиком в координатах «уровень звукового давления — время» (D#4 = 311 Hz). Затухание делится на два этапа: атака с большой скоростью затухания («быстрый звук») и последующий участок с медленным затуханием («отзвук»).
Наиболее интересным фактором, способствующим возникновению отзвука, является наличие более чем одной струны для каждой ноты фортепиано, и, как следствие, динамической связи, которая возникает между струнами, ударяемыми одним молотком. Но в случае, показанном на рис. 1, мы имеем дело с более простым явлением, так как в этом конкретном эксперименте звучала только одна из трех струн, принадлежащих к этому хору (D#4). Следует также добавить, что кривая на рис. 1 была получена путем измерения сигнала от микрофона, в котором было отфильтровано все, кроме основной частоты. Другими словами, комплексная картина затухания не может быть сведена к сумме затуханий различных частичных тонов (хотя такой фактор, может способствовать тому, как звук воспринимается в целом). Скорее всего, поведение кривой затухания на рис. 1 объясняется тем, что даже одна струна, вибрируя на своей основной частоте, имеет два различных режима вибрации, соответствующих двум возможным направлениям колебаний (поляризации): «вертикальному» и «горизонтальному». Здесь мы используем определения, пригодные для рояля, хотя то же самое явление, конечно, имеет место и в пианино.
Вот что происходит здесь: молоток возбуждает вертикальные колебания с гораздо большей амплитудой, чем горизонтальные. Но поскольку штег, который крепится к деке, «поддается» гораздо легче в вертикальном направлении, чем в горизонтальном, затухание вертикального режима оказывается также намного более быстрым. В результате относительно небольшое количество горизонтальной вибрации через некоторое время становится доминирующим.
Хотя эта гипотеза может быть проверена путем прямого наблюдения колебаний струны, интересно рассмотреть ее несколько иначе. На рис. 2, показан другой график уровня звука в зависимости от времени (опять же на основной частоте), которая была получена с помощью той же процедуры, что и на рис. 1 за исключением другого расположения микрофона. Данные ясно показывают, что мы имеем дело с двумя независимыми режимами вибрации, которые излучают звуковые волны через две разные «направленные антенны». Когда один или другой режим доминирует — то есть, либо ближе к началу или ближе к концу звучания — два графика показывают идентичную картину; но когда режимы излучают примерно с одинаковой амплитудой, они могут складываться либо «в фазе», либо «в противофазе», в зависимости от размещения микрофона.
Рис. 2. Затухание того же звука, что и на рис. 1, но записанное при разных положениях микрофона. Сравнение с рис. 1 показывает наличие двух компонентов в звуковом поле, излучаемых вертикальными и горизонтальными колебаниями деки соответственно. Оба компонента имеют одинаковую интенсивность внутри интервала вокруг пересечения наклонных линий. В результате в этом участке уровень звука сильно изменяется в зависимости от положения микрофона.
Действительно, вполне разумно предположить, что картина колебаний деки в ответ на вертикальную вибрацию штега довольно сильно отличается от того, что происходит для горизонтальных колебаний. Поскольку на этой частоте (около 311 Гц) длина волны звука составляет порядка 1 метра, что сопоставимо с размером фортепиано, диаграммы направленности излучения для двух поляризаций могут быть совершенно разными.
Более интересный механизм, который приводит к отзвуку (и который, как мы увидим, позволяет регулировать его относительную величину путем тщательной настройки),- тот, на котором основано название этой лекции, а именно динамическая связь между тремя (или двумя) струнами, возбуждаемыми одним молотком. Давайте представим себе две идентичных (и одинаково настроенных) струны, прикрепленных к штегу в одном и том же месте. Вполне возможно для них вибрировать в фазе, то есть одновременно вместе двигаться вверх и вниз, или в противофазе: одна идет вверх, а другая в этот момент идет вниз. (В данном обсуждении мы концентрируемся, для простоты, на одном только вертикальном движении.) В последнем, «противофазном» случае силы, прикладываемые двумя струнами к штегу, взаимно уничтожаются, так что штег не будет двигаться, как если бы он был бесконечно жестким. Следовательно, скорость затухания вибрации будет очень небольшой. И наоборот, если движение находится в фазе, сила, действующая на штег (и, следовательно, его смещение) будет вдвое больше, чем это было бы для одной струны, так что и скорость затухания будет удвоена. Таким образом, мы видим для общей вибрации возможность распадаться на быстрый звук и отзвук.
Экспериментальные данные, показанные на рис. 3 и 4 иллюстрируют это явление. График на рис. 3 показывает уровень вибрации одной струны; он отличается от наших предыдущих графиков тем, что здесь колебания струны непосредственно измеряются с помощью емкостного датчика, разработанного так, чтобы быть чувствительным только к вертикальному движению, а не по записи излучаемого звука через микрофон. Как и на рис. 1, войлочный клин заглушает все струны, кроме одной. Общий характер графика эквивалентен быстрому звуку на рис. 1, за исключением того, что временной масштаб графика был значительно расширен.
Рис. 3. Типичное затухание вертикальных вибраций струны при заглушенных остальных струнах хора.
График на рис. 4 получен точно таким же образом, но только войлочный клин глушит теперь лишь одну струну трехструнного хора. Следует подчеркнуть, что емкостный датчик вибрации остался в том же положении, и мы смотрим на вертикальное движение той же струны, что и раньше, за исключением того, что вторая струна была «подключена к системе». Очевидно, что теперь возникает новый режим вибрации, в котором исходная струна может вибрировать в течение более длительного времени, прежде чем она потеряет свою энергию. По сути, именно противофазный режим дает такой эффект.
Рис. 4. Затухание той же струны, что и на рис. 3, при свободно вибрирующей (но не ударяемой молотком) второй струне трехструнного хора. Затухание первой струны испытывает сильное влияние наведенных колебаний второй струны.
Тесно связанное с этим явление показано на рис. 5 и 6. Кривые на рис. 5 показывают, как уровень вибрации одной из струн и одновременно уровень громкости изменяются во времени, когда две струны ударяются одним молотком в условиях, аналогичных рис. 4. На рис. 6 эксперимент повторяется, но в момент около t = 11 секунд войлочный клин вдруг вставляется так, чтобы обездвижить вторую струну. Мы видим, что вибрация первой струны, а также громкость производимого звука, тут же начинают затухать с более высокой скоростью. Этого следовало ожидать, так как противофазный режим (в котором сила, действующая одной струной на штег, уничтожается другой струной) больше не реализуется, когда вибрирует только одна струна. Но особенно интересно, что, в то время как уровень вибрации струны просто переключается на затухание с более крутым наклоном, уровень звука одновременно скачком увеличивается почти на 20 дБ. Это происходит, конечно же, потому, что одна струна оказывает значительно большее усилие на штег, чем две струны, вибрирующие в противофазе. Это явление, возможно, могло бы иметь какой-то музыкальный интерес, если бы его можно было надлежащим образом механизировать. Это позволило бы пианисту ввести акцент в середину устойчивого звука, что в обычном фортепиано невозможно.
Рис. 5. Уровень звукового давления и вибрации струн в зависимости от времени для двух струн, ударяемых одним молотком. Горбы на графике отражают биения между струнами.
Рис. 6. Те же кривые, что и на рис. 5, но теперь вибрация одной из струн в точке t = 12 с остановлена войлочным клином. Это прекращает взаимодействие между струнами, в результате чего вибрация другой струны получает более быстрое затухание, а уровень звука внезапно возрастает на 20 дБ.
Интересно отметить довольно сложную структуру биений на рис. 5 и 6, которые не совпадают в вибрации и звуке. По-видимому, это расхождение происходит из-за горизонтальных режимов, которые вносят свой вклад в звук, но не видны в вертикальном движении.
Сразу возникают два вопроса: (а) Если молоток бьет обе струны одинаково в одно и то же время, почему движение не полностью синфазно и не дает «чисто быстрый» звук? (б) Даже если противофазная вибрация каким-то образом возбуждается, почему она не производит никакого звука, с учетом того, что она не оказывает никакой силы на штег? На первый вопрос можно было бы ответить, указав, что реальный молоток должен иметь некоторое геометрическое несовершенство, так что воздействие на две струны не будет абсолютно одинаковым; на второй — тем фактом, что две струны располагаются на штеге не в одной точке. Эти ответы, хотя в принципе правильные, не очень приятны, потому что отзвук, который полностью зависит от наличия дефектов, также имеет тенденцию быть нестабильным и непредсказуемым. Более конкретно, отношение амплитуды отзвука к амплитуде быстрого звука будет изменяться случайным образом от звука к звуку. Это сделало бы даже очень хороший рояль довольно неровным в отношении его певучести. На самом деле, правильное понимание движения струн требует от нас рассмотрения вопроса о дальнейшей степени свободы, то есть о взаимодействии двух струн, не настроенных абсолютно идентично.
Математическая интерпретация связанного движения двух слегка расстроенных струн довольно сложна, так как понятия «синфазных» и «противофазных» движений в качестве нормальных колебаний здесь больше не работают. Тем не менее, мы попытаемся дать некоторое представление о поведении этой сложной системы. Но прежде чем мы начнем, нужно уточнить, что наличие расстройки не обязательно ведет к биениям, если под расстройкой мы имеем в виду различие между частотами колебаний двух струн, когда они по отдельности возбуждены (то есть, когда каждая струна звучит при заглушенной другой струне). Дело, конечно, в том, что часто́ты двух струн, вибрирующих одновременно, подвержены взаимному влиянию, которое происходит между ними из-за их связи с не абсолютно жестким штегом.
Вот другой, и, возможно, более убедительный способ объяснить различие между частотой изолированной струны и частотой, на которой она вибрирует при наличии связи с другой струной. Прежде всего, отметим, что частота колебаний струны, у которой точка отсечки рабочего отрезка не является полностью жесткой, зависит от типа упругости, с которым струна встречается в этой точке, или, с использованием научного термина, от характера импеданса этой точки (см. рис. 7). Если опора «пружинит», то есть, смещается в направлении, в котором струна прикладывает силу к ней, то эта точка больше не может быть точным узлом данной моды колебаний. Вместо этого, узел будет экстраполирован немного за пределы физического конца рабочего отрезка струны; или, другими словами, струна будет «думать», что она длиннее, чем это на самом деле, что заставит ее снизить частоту.
Рис. 7. Иллюстрация влияния импеданса точки отсечки на частоту колебаний струны. «Пружинящая» опора (вверху) понижает частоту, не демпфируя колебаний, поскольку как бы удлиняет струну. Опора-«масса» (в середине) повышает частоту, не демпфируя колебаний. Причина заключается в том, что узел на струне смещается внутрь рабочего отрезка, в результате чего струна колеблется так, как будто она стала немного короче, чем на самом деле. Опора с чисто активным сопротивлением (внизу) не влияет на частоту колебаний, но демпфирует их. Трение при скользящем контакте в опоре означает, что энергия отводится из струны, и вызывает затухание колебаний.
Противоположное происходит с опорой-«массой», то есть сопротивление опоры имеет инерционный характер: в этом случае, его ускорение происходит в направлении приложенной силы, а его смещение — в противоположном направлении. В этом случае узел перемещается внутрь рабочего отрезка от физического конца струны, в результате чего струна «считает», что она короче, чем на самом деле, и ее частота увеличивается. И, наконец, если опора имеет чисто «резистивный» характер, то есть ее скорость совпадает с направлением силы, частота колебаний не меняется, а скорость их затухания увеличивается.
Если теперь вторая струна прикреплена к штегу в том же (или почти в том же) месте, ее присутствие будет влиять на сопротивление штега, как показано на первой струне. В результате «частота первой струны» будет отличаться от ее частоты колебаний до введения другой струны. Величина этого сдвига будет зависеть от разницы между новой «частотой первой струны» и ее исходной частотой. Мы поставили слова «частота первой струны» в кавычки, потому что это на самом деле не совсем так, скорее, это — частота нормального режима, в котором вибрируют совместно обе струны.
Чтобы получить некоторое представление о том, как эти связанные частоты зависят от расстройки струн, мы должны принять в расчет другое сопротивление — не то, которое оказывает штег колебаниям струны, а сопротивление, оказываемое штегу другой струной. Простой демонстрационный эксперимент иллюстрирует это явление. Если прикрепить веревку (представляющую струну) к неподвижной опоре и качать другой конец вверх и вниз на некоторой произвольной частоте, то конец веревки, который я держу, скорее всего, не окажет заметного сопротивления этим колебаниям. Но если выбранная частота колебаний будет соответствовать одной из резонансных частот струны-веревки, то место, где я держу веревку, становится узлом и «отказывается двигаться». Это, как если бы неподвижность точки на другом конце струны была передана в точку, где я держу веревку; хотя я и прикладываю значительную силу вверх и вниз, моя рука почти не двигается. Интерпретируя это явление с точки зрения полного сопротивления, можно сказать, что импеданс, оказываемый струной в точке ее отсечки, как правило, довольно низок, но становится очень высоким, как только частота приближается к резонансной частоте струны.
Из сказанного ясно, что если мы будем наблюдать движение двух струн одного хора, из которых одна остается нетронутой, а другая перестраивается, мы заметим, что нетронутым струна изменит свою частоту (хотя она остается с неизменным натяжением) по мере изменения настройки второй струны. Это происходит при условии, что обе струны близки к унисону, так как в этих условиях импеданс второй струны на частоте первой струны становится достаточно высоким, изменяя эффективное сопротивление штега. Что не так ясно, — и, по сути, требует серьезного математического обоснования — это именно то, что этот сдвиг частоты состоится. Интересно отметить, что он может быть в любом направлении, в зависимости от характера импеданса самого штега. В частности, существует возможность для двух частот их взаимного «захвата», так что небольшая расстройка каждой струны не повлияет на их общую частоту, но только на скорость затухания колебаний. Именно это мы имели в виду, говоря, что небольшая расстройка струн хора не обязательно приводит к появлению биений.
Последняя иллюстрация, рис. 8, показывает некоторые теоретические кривые истории вертикальной силы, действующей на деку, когда она приводится в движение двумя струнами, изначально возбуждаемыми совершенно симметричным ударом молотка. Различные кривые соответствуют разным расстройкам, а импеданс штега предполагается таким, чтобы позволить «захват» частот (что не всегда имеет место на практике). При расчете этих кривых мы предположили параметры, более или менее типичные для среднего диапазона фортепианной клавиатуры. Для этого случая, нет никаких биений, если расстройка не более чем приблизительно 0,3 Гц; точнее говоря, для меньших расстроек есть только одно «нулевое биение» с последующим отголоском без биений, уровень которого зависит от расстройки. Выше примерно 0,3 Гц биения появляются, на примере кривой, проведенной для расстройки 0,64 Гц; но даже здесь время между биениями немного больше, чем 1,6 секунды, предсказанных теорией (1 / 0,64 Гц = 1,6 сек). Важность рис. 8 — указание на то, что хороший настройщик может, при некоторых обстоятельствах, использовать очень тонкую настройку для того, чтобы свести отголоски каждой ноты к более равномерному уровню, чем если бы они были целиком обусловлены несовершенством молотка или крепления струн.
Рис. 8. Расчетная вертикальная сила на деке, приводимой в движение двумя струнами с различными величинами расстройки (Δ f ). В этом примере биения возникают только когда расстройка больше, чем 0,3 Гц, что иллюстрируется кривой Δ f = 0,64 Гц. Для меньших значений расстройки возникает «захват» на общей частоте, и эффект расстройки проявляется в характере уровня отголоска (сравните кривые для Δ f = 0,22 Гц и 0,06 Гц).
И действительно, в исследовании Кирка, проведенном в 1959 году, было отмечено, что в тщательно и грамотно настроенном фортепиано струны хоров были настроенными немного по-разному на величину, которая, как представлялось, случайным образом различалась от ноты к ноте. Эта случайность может, однако, скрыть существенную закономерность. Если, например, вы возьмете лист бумаги и разорвете его, исследование одной из частей покажет неправильную, и, казалось бы, случайную грубую форму края; однако сравнение с другой частью покажет, что одна нерегулярность точно соответствует другой. Наша гипотеза заключается в том, что, сходным образом, кажущаяся «хаотичность» настроек исходит из того, что умелый настройщик регулировал эту величину в зависимости от другой хаотичности, а именно хаотичности несовершенства молотков, таким образом, чтобы результат был не случайным. Было бы интересно проверить эту гипотезу, исследуя, например, работу хороших настройщиков: совпадут ли их «расстройки» отдельных хоров при повторной настройке того же инструмента.
Я хотел бы выразить свою благодарность Королевскому технологическому институту и Королевской шведской академии музыки за приглашение принять участие в этом семинаре, а также Национальному научному фонду США за поддержку моих исследований в Университете штата Мичиган.
Kirk, R. (1959): «Tuning preferences for piano unison groups,» Journal of the Acoustical Society of America 31(12), pp. 1644-1648.
Габриэль Вайнрайх посвятил себя физике с самого начала своей карьеры. Получив докторскую степень в области физики в Колумбийском университете в 1953 году, он сотрудничал в Bell Telephone Laboratories, где стал членом исследовательской группы в физике твердого тела. С 1960 года он был профессором физики в Университете штата Мичиган, Анн-Арбор. Он написал учебники по физике твердого тела и термодинамике, а также общей физике. Его исследования в области музыкальной акустики, стимулируемые его собственной игрой на фортепиано и виолончели, в первую очередь были связаны с физикой фортепианных струн и струн смычковых инструментов. Он рукоположенный священник Епископальной Церкви.
