Колебания струны гитары после последнего аккорда автоколебание

10. Математика колебания струны: тайное становится явным

Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая.

Ноябрьским утром 1717 г. на ступенях парижской церкви святого Жана ле Рона был найден младенец. Его взяли на воспитание и в честь святого церкви окрестили Жаном ле Роном. Мальчик рано проявил блестящий ум и жадную любознательность и вскоре стал гордостью всей Франции. Это был Жан ле Рон Д’Аламбер (1717-1783) — выдающийся французский математик, философ, писатель, член Парижской, Петербургской и других академий.

Круг интересов Д’Аламбера был необычайно широк: механика (принцип Д’Аламбера), гидродинамика (парадокс Д’Аламбера), математика (признак сходи мости Д’Аламбера), математическая физика (формула Д’Аламбера), философия теория музыки. Такой широты требовала и oабота вместе с Дени Дидро над созданием наменитой «Энциклопедии наук, искусств и ремесел», да и сам дух эпохи посвещения, когда к знаниям тянулись все, в том числе и «просвещенные деспоты» Фридрих II и Екатерина II. Последуя неоднократно приглашала Д’Аламбера быть воспитателем ее сына — цесаревича Павла, назначая при этом баснословное вознаграждение, но всегда получала деликатный, но твердый отказ.

Волновое уравнение (10.1) есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть (10.1) выражает вертикальное ускорение струны в точке х, а правая часть — отнесенную к массе струны силу, вызывающую это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны .

Д’Аламбер нашел общее решение уравнения (10.1)

которое содержит две произвольные функции φ(х,t) и ψ(х,t). Через пять лет Даниил Бернулли (1700-1782), математик, механик, физиолог и медик, почетный член Петербургской Академии наук, представитель славного рода Бернулли, который к настоящему времени подарил миру более 100 потомков, добившихся значительных результатов во всех сферах человеческой деятельности, и прежде всего в научной, получил другое общее решение уравнения (10.1)

Сравнивая решения Д’Аламбера (10.2) и Д. Бернулли (10.3), мы, казалось бы, приходим к абсурду: одно и то же уравнение (10.1) имеет совершенно непохожие решения! Но никакого абсурда здесь нет, так уж устроены дифференциальные уравнения. Они обладают бесчисленным множеством решений, что легко видеть из (10.2), где функции φ(x — at) и ψ(x + at) произвольные. При достаточно общих предположениях относительно функций φ и ψ правая часть (10.2) может быть представлена рядом (10.3).

Выбор того или иного частного решения дифференциального уравнения диктуется условиями, в которых протекает процесс (это так называемые граничные условия), и условиями, которые имели место в начале процесса (так называемые начальные условия). Только совокупность дифференциального уравнения, начальных и граничных условий определяет решение той или иной физической задачи. С помощью общего решения (10.2) Д’Аламбер решил одну из таких задач: найти колебания бесконечной струны (т. е. при отсутствии граничных условий), которой в начальный момент времени t = 0 придали некоторую форму f(х) и сообщили некоторое ускорение g(x). Математически задача ставилась так: найти решение уравнения (10.1), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0) = f(x), u(х,0) = g(x), т. е. решить систему

Решение задачи (10.4) определяется формулой Д’Аламбера

Формула (10.5) в простейшем случае g(x) = 0, т. е. когда струну тихонько оттянули и отпустили, не придавая ей дополнительного ускорения, принимает вид

и физически означает, что сообщенный струне при t=0 профиль f(x) будет распространяться влево и вправо со скоростью а. Это так называемые две бегущие волны, движущиеся в противоположных направлениях с одинаковой скоростью а.

Начальное возмущение треугольной формы распадается на две бегущие волны. Профиль начального возмущения сохраняет свою форму, а его амплитуда уменьшается вдвое

На самом деле бесконечных струн не бывает. Струна имеет конечную длину l и, как правило, жестко закреплена на концах. Так возникают граничные условия: u(0,t) = 0 — струна закреплена слева (х = 0); и (l,t) = 0 — струна закреплена справа (х = l). Ясно, что в этом случае бегущие волны будут отражаться от концов, взаимодействовать друг с другом и образовывать более сложную картину колебаний.

Задача о колебании конечной струны была независимо решена Д’Аламбером и Эйлером, а еще через полвека Жозеф Фурье изобрел новый метод, позволявший решать эту и многие другие задачи математической физики. Задача о колебании конечной струны формулируется так: найти решение волнового уравнения (10.1), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0) = f(х), u_t(x,0) = g(x) и граничным условиям u(0,t) = 0, u(l,t) = 0, т. е. решить систему

Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) не был кабинетным ученым. Он взлетел на гребне Великой французской революции 1789 г. и из сына провинциального портного, готовившегося принять монашеский постриг, превратился в друга императора Наполеона. В 1798 г. Фурье участвовал в египетском походе Наполеона, где его жизнь не раз подвергалась опасностям. По возвращении из Египта Фурье занимался административной деятельностью, но находил время и для математических исследований. В 1807 г. он написал свою бессмертную работу «Математическая теория тепла». Главный математический результат Фурье можно описать так: при некоторых ограничениях всякую функцию f (х) можно представить в виде ряда (бесконечной суммы чисел или функций), называемого ныне рядом Фурье:

Фурье разработал метод решения уравнений типа (10.1), называемый методом разделения переменных Фурье.

Идея метода Фурье гениально проста. Решение уравнения (10.1) ищется в виде произведения двух функций X(х) и Т(t), каждая из которых зависит только от одной, «своей» переменной:

Замена (10.7) расщепляет уравнение (10.1) на два дифференциальных уравнения в обыкновенных «школьных» производных:

где λ — неизвестный вспомогательный параметр. Решая уравнения (10.8) и удовлетворяя начальным и граничным условиям (10.6) (разумеется, мы опускаем все промежуточные выкладки, которых здесь, как и при выводе формулы Д’Аламбера (10.5), хватит на несколько страниц), находят окончательное решение задачи (10.6) о колебании конечной струны:

Выясним физический смысл решения (10.9), и прежде всего функций u_n(х,t), составляющих это решение. Для этого выполним искусственное преобразование:

(Здесь мы воспользовались формулой синуса суммы двух аргументов и тем, что Таким образом, u_n(х,t) можнс представить в виде

Из формулы (10.10) видно, что каждое решение u_n представляет собой гармоническое колебание (т. е. колебание по закону синуса) с одной и той же частотой и фазой φ_n. Амплитуда же колебаний А_n(х) для разных точек струны разная, т. е. зависит от координаты точки струны х. Из (10.10) видно, что при х = 0 и х = l А_n(0) = А_n(1) = 0, т. е. на концах струна неподвижна.

Итак, во времени колебания струны происходят с постоянной частотой ω_n, амплитуда колебания для каждой точки струны своя. При этом все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются стоячими волнами.

Пользуясь выражением для амплитуды стоячей волны (10.10) и учитывая, что 0≤x≤l, найдем неподвижные точки стоячих волн:

Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Ясно, что посередине между узлами расположены точки, в которых отклонения в стоячей волне достигают максимума. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

Сделаем общий вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн u_n(х,t), каждая из которых имеет постоянную частоту колебания и изменяющуюся по длине струны амплитуду В k-й стоячей волне имеется k

пучностей и (k + 1) узлов.

Перейдем теперь к «музыкальному содержанию» решения (10.9) и прежде всего к частотам колебаний. Мы пришли к выводу, что струна колеблется не только всей своей длиной, но одновременно и отдельными частями: половинками, третями, четвертями и т. д. Следовательно, струна издает звук не только основной частоты , но и призвуки частот . Тон основной частоты струны ω₁ называется основным тоном струны, а остальные тона, соответствующие частотам ω₂, ω₃, . ω_k, . называются обертонами (верхними тонами) или гармониками. Основной тон струны принимается за первый обертон (первую гармонику). Именно обертоны, сливаясь в общем звучании с основным тоном, придают звуку музыкальную окраску, называемую тембром.

Различие тембров музыкальных звуков в основном объясняется составом и интенсивностью обертонов у разных источников звуков. Чем больше у звука обертонов, тем красивее, «богаче» он нам кажется. По тембру, т. е. по составу обертонов, мы отличаем звуки одной и той же высоты и одинаковой громкости, воспроизведенные на скрипке или фортепиано, голосом или на флейте. Разумеется, и сам инструмент способен давать различные тембровые окраски, что прежде всего относится к скрипке.

Три первые стоячие волны (гармоники) колеблющейся струны. Колебания конечной струны U(х,t) представимы в виде суммы бесконечного числа стоячих волн usubn/sub(х,t)

У скрипачей есть особый способ необычного по тембру звукоизвлечения — игра флажолетами. Слегка дотрагиваясь пальцем до струны в узлах стоячих волн, но так, чтобы струна не соприкасалась с грифом, скрипач гасит одни обертоны и оставляет другие. В результате возникает мягкий, немного свистящий звук, напоминающий по тембру звучание старинного Деревянного духового инструмента — флажолета. Например, дотронувшись до струны точно посередине, скрипач гасит все гармоники, имеющие в этой точке пучности, и сохраняет только гармоники, имеющие в этой точке узлы, т. е. четные гармоники. Таким образом, самой низкой частотой станет второй обертон .

Но это не будет по тембру звук точно на на октаву выше основного тона , так как он будет составлен только из четных гармоник. Аналогично, дотронувшись до струны в точке l/3, скрипач оставит только гармоники, кратные трем: ω₃, ω₆, . и получит флажолет, не похожий на первый, даже если сделать ω₂ = ω₃. Игра флажолетами требует виртуозной точности. Ведь если мы не попадем точно в узел, то погасим вообще все гармоники и струна попросту не зазвучит!

Вот какую огромную роль играют в музыке слагаемые u_n(х,t) в решении (10.9). Их с полным правом называют звуковой краской музыканта. Но не только музыканты, а и создатели музыкальных инструментов проявляют постоянную заботу об этих слагаемых, от которых зависит тембр звука. Достаточно напомнить об особом «итальянском тембре» скрипок работ знаменитых итальянских мастеров XVI-XVIII веков, представителей нескольких поколений семей Амати, Гварнери, Страдивари.

Из решения (10.9), задавая нужным образом функции f(х) и g(x) и вычисляя интегралы, можно формально получить законы, которые экспериментально обнаружил английский ученый-энциклопедист Томас Юнг (1773 — 1829):

1. Если возбуждать струну в какой-либо точке, то в этой точке возникает пучность и не может образоваться узел.

2. Если затормозить струну в какой-либо точке, то в этой точке возникает узел и не может образоваться пучность.

Из первого закона Юнга следует, что если возбуждать струну, например, точно посередине, то в ней погасятся все гармоники, имеющие в этой точке узел, т. е. все четные обертоны. Значит, мы потеряем половину обертонов и звук станет блеклым. Ясно, что чем дальше от середины мы будем возбуждать струну, тем меньше первых, самых важных гармоник мы потеряем. Тембр звука от этого станет полнее и ярче. Вот почему смычок на скрипке, правая рука на гитаре, молоточки на фортепиано — все они возбуждают струну приблизительно на 1/7-1/10 доли струны от места ее закрепления. Делается это для того, чтобы не потревожить первые обертоны, а значит, не обеднить музыкальный звук. Что касается игры на скрипке флажолетами, то она основана на втором законе Юнга, который является обратным к первому закону.

Прежде чем расстаться с законами Юнга, скажем несколько слов об их создателе. Томас Юнг был удивительным человеком. » Всякий может делать то, что делают другие» — таков был девиз его жизни. И Юнг необычайно преуспел в исполнении этого нелегкого правила. Он был цирковым актером (акробатом и канатоходцем), авторитетным знатоком живописи, играл практически на всех су. Шествовавших в его время музыкальных инструментах, занимался расшифровкой египетских иероглифов, знал массу языков, в том числе латинский, греческий и арабский. И кроме всех этих «увлечений», Юнг получил блестящие результаты в науках: физике (волновая теория света), теории упругости (модуль упругости Юнга), оптике, акустике, астрономии, физиологии, медицине. Юнг написал около 60 глав научных приложений к знаменитой «Британской энциклопедии».

Рассмотрим подробнее основной тон струны. Вспоминая, что , получим формулу для частоты основного тона:

откуда легко увидеть законы колебания струны, которые экспериментально обнаружили еще древние греки и которые затем переоткрыл и описал в своей «Универсальной гармонии» Марен Мерсенн:

1. Для струн одинаковой плотности и одинакового натяжения частота колебания обратно пропорциональна длине струны (это не что иное, как «первый закон Пифагора — Архита»; см. с. 101).

2. При заданной длине и плотности струны ее частота пропорциональна корню квадратному из натяжения.

3. При заданной длине и натяжении частота струны обратно пропорциональна корню квадратному из ее плотности. (При постоянной плотности чем толще струна, тем меньше частота ее колебаний, т. е. тем ниже звук.)

Разумеется, все эти законы (по крайней мере, качественно) можно было установить на монохорде.

Но обратимся вновь к обертонам. Легко видеть, что частоты обертонов относятся как числа натурального ряда:

Таким образом, струна издает целый звукоряд тонов, называемый натуральным звукорядом. Теоретически натуральный звукоряд бесконечен. На практике же имеют значение первые 16 обертонов, так как остальные обертоны слишком мало отличаются друг от друга, обладают слишком малой энергией и фактически не слышны.

Натуральный звукоряд. Полагая ω₁ = l, частоты натурального звукоряда выражаются натуральным рядом чисел (ω_n = n). Натуральный звукоряд содержит все консонансы и все интервалы чистого строя

В самом деле, из (10.12) следует, что интервальный коэффициент двух соседних гармоник ω_n и ω_n+1 равен (n = 1, 2, 3, . ). Поскольку то мы легко приходим к выводу: с ростом номера п интервал между соседними гармониками натурального звукоряда уменьшается и в пределе стремится к чистой приме (унисону).

На рисунке показаны первые 16 гармоник колеблющейся струны, образующие натуральный звукоряд. Цифры справа обозначают частоты гармоник, считая ω₁ = 1, а красная линия (гипербола) отсекает часть струны 1/n, которая колеблется с частотой ω_n = n. Мы видим, что второй обертон и основной тон составляют интервал октавы ω₂/ω₁ = 2. Третий и второй обертоны — интервал квинты: ω₃/ω₂ = 3/2. Четвертый и третий — кварты: ω₄/ω₃ = 4/3. Пятый и четвертый — большой терции: ω₅/ω₄ = 5/4. Шестой и пятый — малой терции: ω₆/ω₅ = 6/5. Но ведь это есть не что иное, как набор совершенных и несовершенных консонансов! Таким образом, мы пришли к разгадке «закона консонансов» — «второго закона Пифагора — Архита» (с. 101 — 102): консонантные интервалы, которые математически выражаются отношением

вида (n = 1, 2, 3, 4, 5), определены самой природой колебания струны! Все консонансы заключены в первых шести гармониках, т. е. первых шести тонах натурального звукоряда, причем по мере удаления от первой гармоники (основного тона) степень консонантности интервала убывает. Итак, закон целочисленных отношений для консонантных интервалов , который, по преданию, был экспериментально открыт Пифагором на монохорде, является следствием математического решения задачи о колебании струны и непосредственно вытекает из решения (10.9).

Переходя к более высоким гармоникам, нетрудно обнаружить также два интервала тона чистого строя: ω₉/ω₈ = 9/8, ω₁₀/ω₉ = 10/9 и интервал полутона чистого строя: ω₁₆/ω₁₅ = 16/15. Таким образом, все интервалы чистого строя содержатся в натуральном звукоряде! Вот почему чистый строй более приятен в гармоническом звучании, чем пифагоров строй.

Но и сами тона чистого строя (8.7) почти полностью определены натуральным звукорядом. В самом деле, если рассмотреть октаву между 8-й и 16-й гармониками, принимая частоту 8-й гармоники за единицу (т. е. поделив все частоты на 8), то мы обнаружим в этой октаве все ступени чистого строя, кроме 4-й (4/3) и 6-й (5/3). Следовательно, чистый строй почти целиком содержится в натуральном звукоряде.

Однако это коварное «почти» до сих пор составляет одну из загадок музыки. В самом деле, почему именно 7, 11 и 13-й обертоны (14-й обертон является октавным повторением 7-го) не входят ни в один из музыкальных строев? Знаменитый «фальшивый» 7-й обертон третье столетие не дает покоя теоретикам музыки! С одной стороны, ясно, что неправильно называть этот звук фальшивым, ибо он дан самой природой, которую трудно упрекнуть в фальши. Но с другой стороны, все теоретики музыки, начиная с Рамо, были слишком большими музыкантами, чтобы включить седьмую гармонику в какую-либо музыкальную систему (седьмой звук явно «резал ухо»!). Впрочем, еще в XVIII веке французский музыкальный теоретик Балльер с присущей французу легкостью писал: «Разница между древностью и современностью заключается в том, что тогда начинали считать диссонансы с 5-го призвука, а теперь начинают их считать лишь с 7-го». Не пойдет ли развитие музыки так, что в новых музыкальных системах найдется место и 7, и 11, и 13-му обертонам. А пока молоточки фортепиано, следуя первому закону Юнга, ударяют на 1/8 длины струны, чтобы максимально снизить силу злополучного 7-го обертона.

Наконец, отметим еще одну важную особенность натурального звукоряда. Глядя на рисунок, мы видим, что 4, 5 и 6-я гармоники образуют мажорное звучание (до-ми-соль). А если к ним добавить еще и 1-ю, и 2-ю гармоники, то получится мажорное трезвучие в сопровождении октавного баса! Итак, мажорное трезвучие составлено из ближайших гармоник (4, 5 и 6-й) основного тона (баса мажорного трезвучия). Следовательно, оно не только консонирует, но и обладает акустическим единством, заложенным в самой природе колебания струны. Это дало основание одному из последних универсальных ученых — немецкому математику, физику, физиологу и психологу Герману Гельмгольцу (1821 — 1894) утверждать, что «мажорный аккорд наиболее натурален из всех аккордов».

Ну а минорное трезвучие? Споры о природе минора не затихают и по сей день. В них участвовали Рамо, Д’Аламбер, Руссо, Гёте, Гельмгольц, многие наши современники. На сегодня мнения сходятся в том, что поскольку в минорном трезвучии (до — ми-бемоль — соль) второй звук (ми-бемоль) лежит на полутон ниже пятой гармоники основного тона, то он образует с ней едва слышимый диссонанс, который и обусловливает некоторую «затененность», «нечто мрачное и неясное, необъяснимое для слушателя» (Гельмгольц). По o этой причине в музыке Баха, Генделя, Моцарта минорные произведения часто заканчиваются мажорным — наиболее натуральным, просветленным — аккордом.

Итак, в мажорной гамме третья ступень как бы тяготеет вверх, тогда как в минорной она тяготеет вниз. Движение же вверх воспринимается нами как восхождение к свету, просветление, радость. Напротив, движение вниз ассоциируется со спуском в темноту, затемнением, печалью. Эти объективные предпосылки поддерживаются, кроме того, определенной традицией применения мажора и минора. В тех же случаях, когда эти традиции нарушаются, мы встречаем разудалую песню «Яблочко», написанную в миноре, и молитву «Ave Maria«, которую, несмотря на ее название — «Радуйся, Мария» — и мажорный лад, никак не назовешь веселой. К сожалению, смешивание объективных физико-математических законов строения мажора и минора с их субъективной эстетической оценкой породило вокруг них много ненужных споров.

В заключение остановимся еще на одной проблеме колеблющейся струны. До сих пор, следуя решению (10.9), мы пытались «разъять, как труп» колебания струны на простейшие гармонические составляющие. Но ведь на самом деле, опять же согласно (10.9), составляющие колебание струны гармоники складываются, образуя сложную картину колебаний. Характер этой картины зависит прежде всего от амплитуд гармоник. Решить эту задачу в общем виде не просто, поэтому остановимся на более простой задаче.

Пусть складываются два колебания постоянной и одинаковой амплитуды, равной для простоты единице, и разных частот ω₁

Источник